如圖，已知直線l₁：y=4x+m，（m＜0）與拋物線C1：y=2ax2，(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=17都相切，F(xiàn)是拋物線C₁的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求m與a的值；
（Ⅱ）設(shè)A是C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍．

如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓E的方程；
（2）在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2？若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）過(guò)橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：

1

3m2

+

1

n2

為定值．

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

6

）sin（x+

π

3

），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=

π

4

，銳角C滿足f（

C

2

+

π

6

）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=2px（p＞0）上，且拋物線的焦點(diǎn)F滿足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，若BC邊上的中線所在直線l的方程為mx+ny-m=0（m，n為常數(shù)且m≠0）．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）O為拋物線的頂點(diǎn)，△OFA、△OFB、△OFC的面積分別記為S₁、S₂、S₃，求證：S12+S22+S32為定值．

設(shè)函數(shù)F（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為F₁（x），F(xiàn)₁（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為F₂（x），如果當(dāng)x∈D時(shí)，F(xiàn)₂（x）≥0，則稱F（x）在區(qū)間D上是下凸函數(shù)．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，f（x）=e^x-ax³+3x-6．
（1）若f（x）在[0，+∞）上是下凸函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)M（x）=f（x）+f（-x）+12，n是正整數(shù)，求證：M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

如圖，圓O與直線x+

3

y+2=0相切于點(diǎn)P，與x正半軸交于點(diǎn)A，與直線y=

3

x在第一象限的交點(diǎn)為B．點(diǎn)C為圓O上任一點(diǎn)，且滿足

OC

=x

OA

+y

OB

，動(dòng)點(diǎn)D（x，y）的軌跡記為曲線Γ．
（1）求圓O的方程及曲線Γ的軌跡方程；
（2）若直線y=x和y=-x分別交曲線Γ于點(diǎn)A、C和B、D，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；
（3）已知曲線Γ為橢圓，寫(xiě)出橢圓Γ的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、范圍和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

如圖，已知點(diǎn)F是拋物線C：y²=x的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=

5

4

．
（1）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（2）以S為圓心的動(dòng)圓與x軸分別交于兩點(diǎn)A，B，直線SA，SB分別交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求直線MN的斜率．

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁，l₂，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A，B．
（1）若l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及離心率；
（2）求

FA

AP

的最大值．

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值是（　　）

已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），則以下判斷正確的是（　�。�