Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓E的方程；
（2）在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2？若存在，有幾個（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請說明理由．
（3）過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：

1

3m2

+

1

n2

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）橢圓的長半軸長a=2，推出A（2，0），設(shè)橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|通過

AC

•

BC

=0，推出△AOC為等腰直角三角形，將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得b橢圓E的方程；
（2）設(shè)在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2，說明直線經(jīng)過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，判斷點(diǎn)的個數(shù)即可．
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切點(diǎn)知，OM⊥MP，ON⊥NP，推出圓的方程，過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求出直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，然后證明：

1

3m2

+

1

n2

為定值．

解答： 解：（1）依題意知：橢圓的長半軸長a=2，則A（2，0），
設(shè)橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1-----------------------（2分）
由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|又∵

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC，|OC|=|AC|∴△AOC為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-1），---------------------（4分）
將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得b²=

4

3

，
∴所求的橢圓E的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1-----------------------------（5分）
（2）設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2，
設(shè)Q（x₀，y₀），則|QB|²-|QA|²=（x₀+1）²+（y₀+1）²-（x₀-2）²-y₀²=6x₀+2y₀-2=2，
即點(diǎn)Q在直線3x+y-2=0上，-----------------------------------------（7分）
∴點(diǎn)Q即直線3x+y-2=0與橢圓E的交點(diǎn)，
∵直線3x+y-2=0過點(diǎn)（

2

3

，0），而點(diǎn)橢圓（

2

3

，0）在橢圓E的內(nèi)部，
∴滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個．-----------------------------------（9分）
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切點(diǎn)知，OM⊥MP，ON⊥NP，
∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上，-----------------------------------（10分）
且圓的直徑為OP，則圓心為(

x1

2

，

y1

2

)，
其方程為(x-

x1

2

)2+(y-

y1

2

)2=

x12+y12

4

，----------------------（11分）
即x²+y²-x₁x-y₁y=0-----④
即點(diǎn)M、N滿足方程④，又點(diǎn)M、N都在⊙O上，


∴M、N坐標(biāo)也滿足方程⊙O：x²+y²=

4

3

---------------⑤
⑤-④得直線MN的方程為x₁x+y₁y=

4

3

，------------------------------（12分）
令y=0得m=

4

3x1

，令x=0得n=

4

3y1

，------------------------（13分）
∴x₁=

4

3m

，y₁=

4

3n

，又點(diǎn)P在橢圓E上，
∴(

4

3m

)2+3(

4

3n

)2=4，即

1

3m2

+

1

n2

=

3

4

為定值．-----------------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，過定點(diǎn)問題的解題策略．