證明：（1）對(duì)于任意n≥3，n∈N^*，

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n+1

；
（2）對(duì)于任意n≥2，n∈N^*，

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

．

設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的積，即T_n=a₁•a₂…•a_n．
（1）若T_n=n²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足T_n=

1

2

（1-a_n）（n∈N^*），證明數(shù)列{

1

Tn

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{a_n}共有100項(xiàng)，且滿足以下條件：
①a₁•a₂…•a₁₀₀=2；
②a₁•a₂…•a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2（1≤k≤99，k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₅的值；
（Ⅱ）試問符合條件的數(shù)列共有多少個(gè)？為什么？

如果數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足：（1）各項(xiàng)均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k，對(duì)任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+k都成立，那么，這樣的數(shù)列{a_n}我們稱之為“類等比數(shù)列”．由此各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”．問：
（1）若數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”，且k=（a₂-a₁）²，求證：a₁、a₂、a₃成等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”，且k=0，a₂、a₄、a₅成等差數(shù)列，求

a2

a1

的值；
（3）若數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”，且a₁=a，a₂=b（a、b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對(duì)任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．

已知公差大于0的等差數(shù)列{a_n}，a₂=4，且a₂，a₄-2，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2；
（i）若函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；
（ii）在（i）的條件下，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n=4028+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（n）表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，問n取何值時(shí)，f（n）有最大值？

某校從參加某次知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題．
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（Ⅱ）從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)；
（Ⅲ）若從第1組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取2人成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的概率．

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．
（1）證明：AE是⊙O的切線；
（2）如果AB=4，AE=2，求CD．

某銀行柜臺(tái)有服務(wù)窗口①，假設(shè)顧客在此辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間/分	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	a	0.1	0.1

從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)，
（1）求a的值；
（2）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率．

已知α為銳角，且tanα=

2

-1．若

m

=（4x，1），

n

=（cos²（α+

π

8

），tan2α），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a_n+1=f（a_n），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．