已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x=x₀（0≤x₀≤

π

2

）為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求cos2x₀的值．

某科考試中，從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，兩班成績(jī)的莖葉圖如圖所示，成績(jī)不小于90分為及格．
（1）分別計(jì)算甲、乙兩班10名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)，并估計(jì)哪班的成績(jī)更高；
（2）在所抽取的20人中的及格同學(xué)中，按分層抽樣的方法抽取5人，求甲班恰好抽到一名成績(jī)?yōu)?00分以上的同學(xué)的概率．

已知函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為4-c．
（Ⅰ）確定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，

π

2

]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜

sinx

x

＜b對(duì)x∈（0，

π

2

）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f（

α

2

+

π

8

）=

3 2

5

，求cos2a的值．

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx+c（a，b，c∈R），g（x）=f′（x）且g（0）=g（1）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若任意x₁、x₂∈[0，1]且x₂＞x₁，求證：|g（x₂）-g（x₁）|＜8|x₂-x₁|；
（Ⅲ）當(dāng)b≤

16 3

9

時(shí)，請(qǐng)判斷曲線f（x）的所有切線中，斜率λ為正數(shù)時(shí)切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由．

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a滿足f（x₁）=e 

2

3

x₁？如存在，求f（x）的極大值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）-4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜

2

＜1.4143，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），設(shè)直線l₁，l₂分別是曲線y=f（x）的兩條不同的切線．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為-4．
（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直線l₃亦與曲線y=f（x）相切，且三條不同的直線l₁，l₂，l₃交于點(diǎn)G（m，4），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l₁∥l₂，直線l₁與曲線y=f（x）切于點(diǎn)B且交曲線y=f（x）于點(diǎn)D，直線l₂和與曲線y=f（x）切于點(diǎn)C且交曲線y=f（x）于點(diǎn)A，記點(diǎn)A，B，C，D的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）的值．

A，B，C三人進(jìn)行乒乓球比賽，優(yōu)勝者按以下規(guī)則決出：
（Ⅰ）三人中兩人進(jìn)行比賽，勝出者與剩下的一人進(jìn)行比賽，直到出現(xiàn)兩連勝者，則此兩連勝者唄判定為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束；
（Ⅱ）在每次比賽中，無(wú)平局，必須決出勝負(fù)．
已知A勝B的概率是

2

3

，C勝A的概率是

1

2

，C勝B的概率是

1

3

，第一場(chǎng)比賽在A與C中進(jìn)行
（1）分別求出第二場(chǎng)、第三場(chǎng)、第四場(chǎng)比賽后C為優(yōu)勝者的概率；
（2）記第3n-1場(chǎng)比賽后C為優(yōu)勝者的概率為p_n，第3n場(chǎng)比賽后C為優(yōu)勝者的概率為q_n，第3n+1場(chǎng)比賽后C為優(yōu)勝者的概率為r_n，n∈N^*試求p_n，q_n，r_n．