如圖所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q、R分別為A₁A、AB、AD的中點，求證：平面PQR∥平面CB₁D₁．

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求證：A₁C₁∥面ABCD；
（2）求AC₁與底面ABCD所成角的正切值．

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經測量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄．設計時經過點G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設DN=x（m）．
（1）將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）當x為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

已知函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，若在區(qū)間（-1，5）上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）的上方，求k的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“折線路徑”，所有“折線路徑”中長度最小的稱為M到N的“折線距離”．如圖所示的路徑MD₁D₂D₃N與路徑MEN都是M到N的“折線路徑”．某地有三個居民區(qū)分別位于平面xOy內三點A（-8，1），B（5，2），C（1，14），現(xiàn)計劃在這個平面上某一點P（x，y）處修建一個超市．
（1）請寫出點P到居民區(qū)A的“折線距離”d的表達式（用x，y表示，不要求證明）；
（2）為了方便居民，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“折線距離”之和最小．

以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位．已知點N的極坐標為（2，

π

2

），m是曲線C：ρ²cos2θ+1=0上任意一點，點P滿足

OP

=

OM

+

ON

，設點P的軌跡為曲線Q
（1）求曲線Q的直角坐標方程；
（2）若直線l：

x=-2-t y=2- 3 t

(t為參數(shù))與曲線Q的交點為A、B，求|AB|的長．

已知集合A={x∈R|ax²-3x+2=0}，求集合P={a∈R|a使得A至少含有一個元素}．

已知α，β∈（0，

π

2

），sinα=

4

5

，tan（α-β）=-

1

3

，求cosβ的值．

已知n∈N⁺，求證：2ⁿ＞1+2+3+…+n．