Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

，由此得到{a_n}是以

2

3

為公差，以a₁=1為首項的等差數(shù)列，從而求出an=

2

3

n+

1

3

．
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a_5+…-a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1），由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），
∴an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

，整理，得3a_n+1=2+3a_n，
∴an+1-an=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為公差，以a₁=1為首項的等差數(shù)列，
∴an=

2

3

n+

1

3

．
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-

4

3

（a₂+a₄+…+a_2n）
=-

4

3

×

n( 5 3 + 4n 3 + 1 3 )

2

=-

4

9

（2n²+3n）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．