如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，

3

2

）到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．如圖，“盾圓C”是由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與拋物線y²=4x中兩段曲線弧合成，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)₂（1，0）．A為橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，|AF₂|=

5

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求定積分時(shí)，可以使用下面的換元法公式：函數(shù)y=f（x）中，令x=φ（t），則

∫

b a

f（x）dx=

∫

t2 t1

f[φ（t）]dφ（t）=

∫

t2 t1

f[φ（t）]φ′（t）dt
（其中a=φ（t₁）、b=φ（t₂））．如

∫

1 0

1-x2

dx=

∫

π 2 0

1-sin2t

d（sint）=

∫

π 2 0

cost（sint）′dt=

∫

π 2 0

cos²tdt=

∫

π 2 0

1+cos2t

2

dt．閱讀上述文字，求“盾圓C”的面積．
（3）過(guò)F₂作一條與x軸不垂直的直線，與“盾圓C”依次交于M、N、G、H四點(diǎn)，P和P′分別為NG、MH的中點(diǎn)，問(wèn)

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

（1）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求（∁_RA）∩B；
（2）化解

(log25)2-4log25+4

+log₂

1

5

．

已知A={x|3≤x＜7，x∈N}，B={1，3，5，7}，U={x|0＜x≤7，x∈Z}，
（1）求A∩B；
（2）求A∪B；
（3）求（（∁_UA）∩B）．

設(shè)集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，若A∪B=A，求a的值組成的集合．

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

1

4

a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)都成立，如果命題p，q中至少有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知圓C的圓心在直線l₁：2x-y+1=0上，與直線3x-4y+9=0相切，且截直線l₂：4x-3y+3=0所得的弦長(zhǎng)為2，求圓C的方程．

如圖，已知M（m，m²），N（n，n²）是拋物線C：y=x²上兩個(gè)不同點(diǎn)，且m²+n²=1，m+n≠0．直線l是線段MN的垂直平分線．設(shè)橢圓E的方程為

x2

2

+

y2

a

=1（a＞0，a≠2）．
（1）當(dāng)M，N在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求直線l斜率k的取值范圍；
（2）已知直線l與拋物線C交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，與橢圓E交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為R，PQ中點(diǎn)為S，若

OR

•

OS

=0，求橢圓E離心率的范圍．

解關(guān)于x的方程：ax²+2（a+1）x+a+1=0，a∈R．

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別為AB、C₁D₁、DC中點(diǎn)，AB=2，AD=

3

，AC₁=3
（1）求證：C₁E∥平面AFC．
（2）求二面角F-AC-G的正切值．