如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，E為A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求直線A₁B₁到平面DAB的距離；
（3）求二面角A-BD-C的正切值．

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中如圖1，AC⊥BC，D為AB中點(diǎn)，CB=1，AC=

3

，異面直線C₁D與A₁B₁所成角大小為arccos

1

4

．
（1）在圖2中畫出此三棱柱的左視圖和俯視圖；
（2）求三棱錐C₁-CBD的體積．

若曲線F（x，y）=0上兩個不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線F（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：①x²-y²=1；②y=x²-2|x|；③y=sinx+cosx；④|x|+1=

2-y2

對應(yīng)的曲線中不存在“自公切線”的有．

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AFC⊥平面BDEF；
（2）求證：平面BDGH∥平面AEF．

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a²-a）lnx-x（a≤

1

2

）．
（1）若函數(shù)f（x）在2處取得極值，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）對?x＞1恒成立，求a的取值范圍．

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，且以a₃-2，a₃，a₃+2為邊長的三角形是直角三角形．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n+n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

某校高一學(xué)生參加社會實(shí)踐活動，調(diào)查某種產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售情況時發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的出廠價格在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，已知在一個周期內(nèi)3月份出廠價最高為8元，7月份出廠價最低為4元，而該商品在商店內(nèi)的銷售價格是在8元基礎(chǔ)山按月份隨正弦曲線波動的，并已知在一個周期內(nèi)5月份出廠價最高為10元，9月份銷售價最低為6元．學(xué)校超市每月進(jìn)這種商品m件，并且當(dāng)月售完．請你根據(jù)以上調(diào)查情況估計(jì)超市哪個月份盈利最大？并說明理由．

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（0，1），離心率為

3

2

．直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P′（P′與Q不重合），當(dāng)直線l過點(diǎn)（1，0）時，判斷直線P′Q是否與x軸交于一定點(diǎn)？若是，請寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

已知圓C的方程可以表示為x²+y²-2x-4y+m=0，其中m∈R．
（1）若m=1，求圓C被直線x+y-1=0截得的弦長
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

在△ABC中，已知a²-a=2（b+c），a+2b=2c-3．
（1）若sinC：sinA=4：

13

，求a、b、c；
（2）在（1）的條件下，求△ABC的最大角的弧度數(shù)．