Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC₁的中點，E為A₁B₁的中點．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求直線A₁B₁到平面DAB的距離；
（3）求二面角A-BD-C的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明A₁B₁⊥平面EDC₁，A₁B₁∥AB，即可證明AB⊥DE；
（2）取AB中點為F，連結EF，DF，過E作直線EH⊥DF于H點，則EH⊥平面DAB，EH就是直線A1B1到平面DAB的距離；
（3）過A作AM⊥BC于M點，則AM⊥平面CDB，過M作MN⊥BD于N點，連結AN，則AN⊥BD，∠ANM即為所求二面角的平面角．

解答： （1）證明：連結C₁E，則C₁E⊥A₁B₁，
又∵A₁B₁⊥C₁C，∴A₁B₁⊥平面EDC₁，∴A₁B₁⊥DE，
而A₁B₁∥AB，∴AB⊥DE．…（3分）
（2）解：取AB中點為F，連結EF，DF，則EF⊥AB，∴AB⊥DF．
過E作直線EH⊥DF于H點，則EH⊥平面DAB，∴EH就是直線A1B1到平面DAB的距離．
在矩形C₁EFC中，∵AA₁=AB=2，∴EF=2，C₁E=

3

，DF=2，
∴在△DEF中，EH=

3

，…（7分）
故直線A₁B₁到平面DAB的距離為

3

．
（3）解：過A作AM⊥BC于M點，則AM⊥平面CDB，
過M作MN⊥BD于N點，連結AN，則AN⊥BD，∴∠ANM即為所求二面角的平面角，
在Rt△DCB中，BC=2，DC=1，M為BC中點，∴MN=

5

5

，
在Rt△AMN中，tan∠ANM=

AM

MN

=

15

…（12分）

點評：本題考查線面垂直，線面距離，考查面面角，綜合性強，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．