Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），離心率為

3

2

．直線l與橢圓C交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為P′（P′與Q不重合），當直線l過點（1，0）時，判斷直線P′Q是否與x軸交于一定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），離心率為

3

2

，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可得k2=

1

4

，求出點O到直線l的距離，|PQ|，即可求△OPQ面積的取值范圍；
（Ⅲ）求出直線P'Q的方程，令y=0，可得-

4k

m

=4，即可得出定點的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，知

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得a=2，b=1．
所以，橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率k存在且不為0．設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
所以，△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，①
且x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
因為直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以，

y1

x1

•

y2

x2

=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2．
化簡，得k2=

1

4

．代入①，解得0＜m²＜2．
因為點O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

，且|PQ|=

1+k2

|x1-x2|，
所以S△OPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

|m|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

．
因為0＜m²＜2且m²≠1，所以0＜m²（2-m²）=-（m²-1）²+1＜1．
所以△OPQ面積的取值范圍為（0，1）．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當直線l過點（1，0）時，k+m=0．
由題意知P'（x₁，-y₁），直線P'Q的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．
令y=0，得x=

y1x2+y2x1

y2+y1

=

(kx1+m)x2+(kx2+m)x1

(kx1+m)+(kx2+m)

=

2kx1x2+m(x1+x2)

k(x1+x2)+2m

=-

4k

m

．
由k+m=0，得-

4k

m

=4．
即直線P'Q與x軸交于一定點（4，0）．…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．