已知函數(shù)f（x）=2x+a的反函數(shù)是y=f-1（x）．設(shè)P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f-1（x）圖象上不同的三點(diǎn)．
（1）如果存在正實(shí)數(shù)x，使y1、y2、y3成等差數(shù)列，試用x表示實(shí)數(shù)a；
（2）在（1）的條件下，如果實(shí)數(shù)x是唯一的，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）從原函數(shù)式中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式：f-1（x）=log2（x-a），（x＞a），分別寫(xiě)了y1，y2，y3，由題意y1、y2、y3成等差數(shù)列即可表示出a；
（2）由題意：關(guān)于x的方程（x-a）2=2x即x2-2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．下面對(duì)根的判別式進(jìn)行分類討論：10，當(dāng)判別式△=0時(shí)，20，當(dāng)判別式△＞0時(shí)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f-1（x）=log2（x-a），（x＞a），y1=log2a，y2=log2（x-a），
y3=log22=1由題意，2log2（x-a）=log2x+1(x-a)2=2x，a=x-
2x
，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由題意：關(guān)于x的方程（x-a）2=2x即x2-2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．
10，當(dāng)判別式△=0時(shí)，a=-
1
2
，這時(shí)方程有唯一解x=
1
2
滿足條件；
20，當(dāng)判別式△＞0時(shí)，方程的一個(gè)根大于a，
另一根小于a（不可能出現(xiàn)一根等于a的情形），
記g（x）=x2-2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a=-
1
2
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查反函數(shù)、等差數(shù)列的性質(zhì)、一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2+log0.5x（x＞1），則f（x）的反函數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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