若函數(shù)f（x）對任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)P，并說明理由．
①y=a^x（a＞1）；    ②y=x³．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求證：對任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立給出證明，若不成立給出反例．

定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．

設(shè)函數(shù)f是定義在正整數(shù)有序?qū)�集合上的函�?shù)，并滿足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y．x）③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），則f（12，16）+f（16，12）的值是（　　）

A．96

B．64

C．48

D．24

已知函數(shù)f（x）滿足：對任意正數(shù)x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．請寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)可以寫為f（x）=______（注：只需寫出一個(gè)函數(shù)即可）．

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對x，y∈R，恒有f（xy）=f（x）+f（y），若f（8）=3，則f(

2

)=______．

定義：已知兩數(shù)a、b，按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充得到一個(gè)數(shù)c便稱c為“新數(shù)”，現(xiàn)有數(shù)1和4
①按上述規(guī)則操作三次后得到的最大新數(shù)c*=49；         ②2008不是新數(shù)；
③c+1總能被2整除；        ④c+1總能被10整除；      ⑤499不可能是新數(shù)．
其中正確的說法是______．

f（x）滿足對任意的實(shí)數(shù)a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，則

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(3)

+

f(6)

f(5)

+…+

f(2010)

f(2009)

=（　�。�

A．1003

B．2010

C．2008

D．1004

已知f（x）定義域?yàn)镽，滿足：
①f（1）=1＞f（-1）；
②對任意實(shí)數(shù)x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性與周期性，并求f²（3x）+f²（3x-1）的值；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2對一切實(shí)數(shù)x成立．如果存在，求出常數(shù)A，B的值；如果不存在，請說明理由．

若對任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對應(yīng)，則稱f（x，y）為關(guān)于x，y的二元函數(shù)．
定義：滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的廣義“距離”：
（1）非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實(shí)數(shù)z均成立．
給出三個(gè)二元函數(shù)：①f（x，y）=（x-y）²；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=

x-y

．
請選出所有能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的序號(hào)______．