Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2-x），（a＞0，a≠1），
（1）若f（4）＜2，求a的取值范圍；
（2）若a＞1，設(shè)h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的定義域和值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（4）＜2得log_a4＜2，討論a＞1、0＜a＜1時(shí)，a的取值范圍；
（2）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求出x的取值范圍，由函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得出h（x）的取值范圍，即得定義域和值域．

解答： 解：（1）由f（4）＜2得，log_a4＜2；
若a＞1，則a²＞4，解得，a＞2；（3分）
若0＜a＜1，則a²＜4，解得，0＜a＜1；（6分）
綜上所述：a＞2或0＜a＜1；（7分）
（2）h（x）=log_ax+log_a（2-x）=log_a（-x²+2x），（a＞1）；
則

x＞0 2-x＞0

，解得，0＜x＜2；（10分）
又∵-x²+2x∈（0，1]；
∴h（x）∈（-∞，0]；（13分）
∴h（x）的定義域?yàn)椋?，2），值域?yàn)椋?∞，0]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域與值域的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域和值域，是基礎(chǔ)題．