Question

設(shè)a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，則a+4b的最小值是（　�。�

• A、8
• B、

  25

  3

• C、9
• D、

  28

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，可得a=

b

3b-4

＞0，b＞

4

3

．令a+4b=

b

3b-4

+4b=f（b），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，∴a=

b

3b-4

＞0，∴b＞

4

3

．
∴a+4b=

b

3b-4

+4b=f（b），
則f′（b）=4-

4

(3b-4)2

=

12(b-1)(3b-5)

(3b-4)2

，
令f′（b）=0，又b＞

4

3

，解得b=

5

3

．
當(dāng)

4

3

＜b＜

5

3

時(shí)，f′（b）＜0，函數(shù)f（b）單調(diào)遞減；當(dāng)b＞

5

3

時(shí)，f′（b）＞0，函數(shù)f（b）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)b=

5

3

時(shí)，f（b）取得極小值即最小值，f(

5

3

)=

5 3

3× 5 3 -4

+4×

5

3

=

25

3

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．