【題目】已知F1 , F2為橢圓 的左、右焦點(diǎn),F(xiàn)2在以 為圓心,1為半徑的圓C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.

(1)求橢圓C1的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A,B兩點(diǎn),過P與l1垂直的直線l2交圓C2于C,D兩點(diǎn),M為線段CD中點(diǎn),求△MAB面積的取值范圍.

【答案】
(1)

解:圓C2的方程為 ,

此圓與x軸相切,切點(diǎn)為

,即a2﹣b2=2,且 ,

又|QF1|+|QF2|=3+1=2a.

∴a=2,b2=a2﹣c2=2

∴橢圓C1的方程為


(2)

解:當(dāng)l1平行x軸的時(shí)候,l2與圓C2無(wú)公共點(diǎn),從而△MAB不存在;

設(shè)l1:x=t(y﹣1),則l2:tx+y﹣1=0.

,消去x得(t2+2)y2﹣2t2y+t2﹣4=0,

又圓心 到l2的距離 ,得t2<1.

又MP⊥AB,QM⊥CD

∴M到AB的距離即Q到AB的距離,設(shè)為d2,

∴△MAB面積

∴△MAB面積的取值范圍為


【解析】(1)圓C2的方程為 ,由此圓與x軸相切,求出a,b的值,由此能求出橢圓C1的方程.(2)設(shè)l1:x=t(y﹣1),則l2:tx+y﹣1=0,與橢圓聯(lián)立,得(t2+2)y2﹣2t2y+t2﹣4=0,由此利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式,結(jié)合已知條件能求出△MAB面積的取值范圍.

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