Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別為P（單位：萬(wàn)元）和Q（單位：萬(wàn)元），它們與投入資金m（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

5

m，P=

1

5

m，Q=

3

5

m

．今將3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投資x（單位：萬(wàn)元）
（1）試建立總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指明函數(shù)定義域；
（2）如何投資經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，才能使得總利潤(rùn)最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，對(duì)甲種商品投資x（萬(wàn)元），對(duì)乙種商品投資（3-x）（萬(wàn)元），利用經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

5

m，Q=

3

5

m

，可求經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用配方法，可求總利潤(rùn)y的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，對(duì)甲種商品投資x（萬(wàn)元），對(duì)乙種商品投資（3-x）（萬(wàn)元）．
所以y=

1

5

x+

3

5

3-x

-----------------------（4分）
其定義域?yàn)閇0，3]-----------------------（6分）
（2）令t=

3-x

，
因?yàn)閤∈[0，3]，
所以t∈[0，

3

]，有y=

1

5

x+

3

5

3-x

=-

1

5

t2+

3

5

t+

3

5

-------（10分）
=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

-----------------（12分）
所以當(dāng)t=

3

2

∈[0，

3

]時(shí)，即x=

3

4

時(shí)，ymax=

21

20

--------------（14分）
答：當(dāng)甲商品投入

3

4

萬(wàn)元，乙商品投入

9

4

萬(wàn)元時(shí)，總利潤(rùn)最大為

21

20

萬(wàn)元．---------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，正確建立函數(shù)解析式是關(guān)鍵．