Question

（2012•盧灣區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}，若a₁=14，an+1=an-

2

3

（n∈N^*），則使a_n•a_n+2＜0成立的n的值是

21

．

Answer 1

分析：由題設(shè)知數(shù)列{a_n}是首項為14，公差為-

2

3

的等差數(shù)列，故an=14+(n-1)×(-

2

3

)=-

2

3

n+

44

3

，由此推導(dǎo)出a_n•a_n+2=

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

，由此能求出使a_n•a_n+2＜0成立的n的值．

解答：解：∵a₁=14，an+1=an-

2

3

（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是首項為14，公差為-

2

3

的等差數(shù)列，
∴an=14+(n-1)×(-

2

3

)=-

2

3

n+

44

3

，
∴a_n•a_n+2=（-

2

3

n+

44

3

）[-

2

3

(n+2)+

44

3

]
=

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

，
∵a_n•a_n+2＜0，
∴

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

＜0，
整理，得n²-42n+440＜0，
解得20＜n＜22，
∵n∈N^*，∴n=21．
故答案為：21．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．