Question

衡水市為“市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試，且規(guī)定：成績(jī)大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰．若現(xiàn)有500人參加測(cè)試，學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學(xué)生測(cè)試的平均成績(jī)；
（Ⅲ）若知識(shí)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率都相同，并且相互之間沒(méi)有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）利用頻率分布直方圖能求出獲得參賽資格的人數(shù)．
（II）利用頻率分布直方圖能求出這500名測(cè)試學(xué)生的平均成績(jī)．
（III）由題設(shè)條件求出甲答對(duì)每一道題的概率

2

3

，ξ可能取得值為3，4，5，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）獲得參賽資格的人數(shù)m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）
（II）平均成績(jī)：

.

X

=(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）
（III）設(shè)甲答對(duì)每一道題的概率為．P
則（1-p）²=

1

9

，∴p=

2

3

，
∴ξ可能取得值為3，4，5，
P（ξ=3）=P³+（1-P）³=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

P2(1-p)P+

C

2 3

(1-p)p(1-p)=

10

27

，
P（ξ=5）=1-

1

3

-

10

27

=

8

27

，
∴ξ的分布列為

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．