Question

已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線，被圓M所截的弦長為，且圓心M在直線l的下方．
（I）求圓M的方程；
（II）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圓M是△ABC的內切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設圓心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（II）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x-6y-3=0的距離為，∴，
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1，故圓的方程為（x-1）²+y²=1．（4分）
（Ⅱ）設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6．由方程組，得C點的橫坐標為，∵|AB|=t+6-t=6，∴，
由于圓M與AC相切，所以，∴；同理，，∴，∴，（10分）∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，∴，．（13分）
點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．