Question

（2010•湖北模擬）已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：y=

4

3

x-

1

2

，被圓M所截的弦長為

3

，且圓心M在直線l的下方．
（I）求圓M的方程；
（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距離，求出M坐標(biāo)，然后求圓M的方程；
（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達(dá)式，求出面積的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x-6y-3=0的距離為

12-( 3 2 )2

=

1

2

，∴

|8a-3|

82+62

=

1

2

，
又∵M(jìn)在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1，故圓的方程為（x-1）²+y²=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6．由方程組

y=k1x+t y=k2x+t+6

，得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xc=

6

k1-k2

，∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

|

6

k1-k2

|•6=

18

k1-k2

，
由于圓M與AC相切，所以1=

|k1+t|

1+k12

，∴k1=

1-t2

2t

；同理，k2=

1-(t+6)2

2(t+6)

，∴k1-k2=

3(t2+6t+1)

t2+6t

，∴S=

6(t2+6t)

t2+6t+1

=6(1-

1

t2+6t+1

)，（10分）∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，∴Smax=6(1+

1

4

)=

15

2

，Smin=6(1+

1

8

)=

27

4

．（13分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最值的求法，考查計(jì)算能力．