Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）≤0的解集為區(qū)間[0，2]，且f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為3
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）回答下列問題（只需將答案填在橫線上，不必寫出解題過程）
①已知直線l：x-y+m=0與曲線C：y=f（x）（0≤x≤2）．若直線l與曲線段C有且只有一個交點，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集為區(qū)間[0，2]，得到x=0，x=2是方程ax²+bx+c=0（a＞0）的兩個根，然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到b=-2a，c=0．即f（x）=ax²-2ax，由
f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為3求得a=1，則函數(shù)解析式可求；
（2）由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集為區(qū)間[0，2]，
∴x=0，x=2是方程ax²+bx+c=0（a＞0）的兩個根，
則

- b a =2 c a =0

，即b=-2a，c=0．
∴f（x）=ax²-2ax，對稱軸方程為x=1，
∴f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為f（3）=9a-6a=3a=3，即a=1．
∴f（x）=x²-2x；
（2）如圖，

由圖可知，要使直線l：x-y+m=0與曲線C：y=f（x）（0≤x≤2）有且只有一個交點，則m的取值范圍是（-2，0]．
故答案為（-2，0]．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了二次函數(shù)的最值，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．