Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+ϕ）+

5

2

（0＜ϕ＜π）的圖象的對(duì)稱軸完全相同．
（1）求ω、ϕ的值；
（2）設(shè)直線x=t與函數(shù)f（x）和g（x）的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)：
①試將線段MN的長(zhǎng)度表示為t的函數(shù)h（t）；
②當(dāng)t∈[

π

6

，

5π

6

]時(shí)，求函數(shù)h（t）的最大值及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義,三角函數(shù)的最值

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)“對(duì)稱軸相同可得兩函數(shù)的周期相同”、周期公式求出ω，進(jìn)而可得φ的值；
（2）①利用直線x=t與函數(shù)f（x）和g（x）的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，可將線段MN的長(zhǎng)度表示為t的函數(shù)h（t）；
②當(dāng)t∈[

π

6

，

5π

6

]時(shí)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求求函數(shù)h（t）的最大值及單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意知：兩函數(shù)的周期相同，
∴

2π

ω

=

2π

2

，∴ω=2（2分）
∴f(x)=3sin(2x-

π

6

)的圖象的對(duì)稱軸為2x-

π

6

=k1π+

π

2

，
即x=

k1π

2

+

π

3

（k₁∈Z），g（x）的圖象的對(duì)稱軸為2x+φ=k₂π，即x=

k2π

2

-

ϕ

2

（k₂∈Z）
∵對(duì)稱軸完全相同，∴

ϕ

2

+

π

3

=

mπ

2

m∈Z
∵0＜ϕ＜π∴ϕ=

π

3

（6分）
（2）①|MN|=h(t)=|f(t)-g(t)|=|3sin(2t-

π

6

)-2cos(2t+

π

3

)-

5

2

|=|5sin(2t-

π

6

)-

5

2

|（8分）
②∵t∈[

π

6

，

5π

6

]∴2t-

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]
∴5sin(2t-

π

6

)-

5

2

∈[-

15

2

，

5

2

]
∴t=

5π

6

時(shí)，h(t)max=

15

2

（10分）
單調(diào)增區(qū)間為：[

π

6

，

π

3

]，[

π

2

，

5π

6

]，減區(qū)間為：[

π

3

，

π

2

]（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的關(guān)系，以及正弦函數(shù)得性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷出：對(duì)稱軸相同可得兩函數(shù)的周期相同．