Question

在直角坐標(biāo)系中，射線OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），過點(diǎn)P（1，0）作直線分別交射線OA、OB于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)AB中點(diǎn)在直線y=

1

2

x上時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)A（a，a），B（-2b，b），又P（1，0）是AB的中點(diǎn)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

a-2b 2 =1 a+b 2 =0

，解出a，b，再利用點(diǎn)斜式即可得出．
（2）對(duì)AB的斜率分類討論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)A（a，a），B（-2b，b），又P（1，0）是AB的中點(diǎn)．
∴

a-2b 2 =1 a+b 2 =0

，

a= 2 3 b=- 2 3

．
∴A(

2

3

，

2

3

)，B(

4

3

，-

2

3

)，
∴k_AB=

- 2 3 - 2 3

4 3 - 2 3

=-2，
∴直線AB的方程為y═-0-2（x-1），化為2x+y-2=0．
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則AB的方程為x=1，
易知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(1，-

1

2

)，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，

1

4

)，顯然不在直線y=

1

2

x上，
即AB的斜率不存在時(shí)不滿足條件．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，記為k，易知k≠0且k≠1，則直線AB的方程為y=k（x-1）．
分別聯(lián)立

y=k(x-1) x-y=0

及

y=k(x-1) x+2y=0.

可求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(

k

k-1

，

k

k-1

)，B(

2k

1+2k

，-

k

1+2k

)
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

k

2k-2

+

k

1+2k

，

k

2k-2

-

k

2+4k

)．
又AB的中點(diǎn)在直線y=

1

2

x上，
∴以

k

2k-2

-

k

2+4k

=

1

2

(

k

2k-2

+

k

1+2k

)，解得k=

5

2

．
∴直線AB的方程為y=

5

2

(x-1)，即5x-2y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．