Question

數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_n+T=a_n對于任意正整數(shù)n均成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），則當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期為3時，它的前2014項的和S₂₀₁₄=

 

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Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*）．可得x₃=|x₂-x₁|=1-m．x₄=|x₃-x₂|=|1-2m|，再利用周期為3可得x₄=x₁，m≠0，于是2m-1=1，解得m，可得x₁+x₂+x₃=1+m+1-m=2．再利用周期性可求數(shù)列{x_n}的前2014項的和S₂₀₁₄．

解答： 解：∵x₁=1，x₂=m（m≤1，m≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|m-1|，又?jǐn)?shù)列{x_n}的周期為3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||m-1|-m|=x₁=1，
解得：m=1或m=0，
∵m≠0，∴m=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2；
又x₂₀₁₄=x₁=1，2014=671×3+1，
∴S₂₀₁₄=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄
=671×（1+1+0）+1
=1343．
故答案為：1343．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查函數(shù)的周期性，得到相鄰三項之和為2是關(guān)鍵，屬于中檔題．