Question

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）.

【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問題中的綜合運(yùn)用，試題的難度不大，但考查點(diǎn)極為全面。本題的難點(diǎn)是第三問中方程解的研究，當(dāng)函數(shù)具有極值點(diǎn)時(shí)，在這個(gè)極值點(diǎn)左右兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性是不同的，這樣就可以根據(jù)極值的大小，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)確定方程解的個(gè)數(shù)，如本題中函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，而且是極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，如果這個(gè)最小值小于零，函數(shù)就出現(xiàn)兩個(gè)零點(diǎn)，方程就有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)這個(gè)最小值等于零時(shí)，方程才有一個(gè)實(shí)數(shù)解，而最小值等于零的這個(gè)極小值點(diǎn)滿足在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，函數(shù)值也等于零，即我們的【解析】中的方程組，由這個(gè)方程組求解使用了構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的性質(zhì)得到的方法也是值得仔細(xì)體會(huì)的技巧。（1）函數(shù)的定義域是，把代入函數(shù)解析式，求其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求解目標(biāo)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個(gè)等于零的點(diǎn)，判斷這唯一的極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)即可；（2）即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在小于或者等于恒成立，分類參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；（3）研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，判斷何時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，得到所滿足的方程，解方程求解。

解：（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)時(shí)，，

（2′）令=0，解得．（∵）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131424383691186_DA.files/image022.png">有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值………4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當(dāng)時(shí)，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131424383691186_DA.files/image035.png">有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則．令，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131424383691186_DA.files/image041.png">，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．（12′）

則既

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131424383691186_DA.files/image041.png">，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131424383691186_DA.files/image060.png">，所以方程（*）的解為，即，解得．…12分