Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）≥

（3）

【解析】解：（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)時(shí)，，

（2′）

令=0，解得.（∵）

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351523437717263_DA.files/image012.png">有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值………4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當(dāng)時(shí)，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351523437717263_DA.files/image025.png">有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則.

令，.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351523437717263_DA.files/image031.png">，，

所以（舍去），

    ，

    當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，

    當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增

    當(dāng)時(shí)，=0，取最小值.（12′）

    則既

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351523437717263_DA.files/image031.png">，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052223495292186489/SYS201205222351523437717263_DA.files/image050.png">，所以方程（*）的解為，

即，解得.…12分