Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3ⁿ，求使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=3ⁿ，推導(dǎo)出{

1

an

}是首項(xiàng)和公比均為

1

3

的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：∵a_n=3ⁿ，
∴

1

a1

=

1

3

，

1 an

1 an-1

=

1

3

，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)和公比均為

1

3

的等比數(shù)列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
由

1

2

(1-

1

3n

)＞

40

81

，
解得n＞4，
∴使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整數(shù)n的值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．