Question

（2011•重慶一模）設(shè)函數(shù)f（x）=2sinφcos2

x

2

+cosφsinx-sinφ（0＜φ＜π）在x=π處取得最小值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）和函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，b）對(duì)稱，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)二倍角個(gè)數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)在x=π處取得最小值，結(jié)合φ的范圍直接求φ的值；
（Ⅱ）通過(guò)函數(shù)g（x）和函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，b）對(duì)稱，求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sinφcos2

x

2

+cosφsinx-sinφ
=2sinφ•

1+cosx

2

+cosφsinx-sinφ     …（2分）
=sinφ+sinφcosx+cosφsinx-sinφ
=sinxcosφ+cosxsinφ
=sin（x+φ）．  …（5分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1． …（6分）
由誘導(dǎo)公式知sinω=1，因?yàn)?＜φ＜π，所以φ=

π

2

．
所以f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．        …（7分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）和函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，b）對(duì)稱，
所以g（x）=2b-f（

π

6

-x）=2b-cos（

π

6

-x）=2b-cos（x-

π

6

），…（10分）
由不等式2kπ≤x-

π

6

≤π+2kπ，得到2kπ+

π

6

≤x≤

7π

6

+2kπ，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ+

π

6

，

7π

6

+2kπ]   k∈Z． …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．