【題目】已知，，其中.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅱ）由條件可得 在上恒成立, 求導(dǎo)得,分別討論,和三種情況,研究的最小值的取值情況,從而即可得解.

（Ⅰ）時，，定義域是全體實數(shù)，求導(dǎo)得，

令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（Ⅱ）令 在上恒成立，則 在上恒成立

求導(dǎo)得.

若，顯然可以任意小，不符合題意.

若，則最大也只能取0.

當時，令 ，

于是在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取唯一的極小值也是最小值

，

令，則，

令.

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

在取唯一極大值也是最大值，此時，，所以的最大值等于.

備注一：結(jié)合圖象，指數(shù)函數(shù)在直線的上方，斜率顯然，再討論的情況.

備注二：考慮到 在上恒成立，令即得.取，

證明在上恒成立也給滿分.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)則關(guān)于的方程的實數(shù)解最多有

A. 4個 B. 7個 C. 10個 D. 12個

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【題目】已知函數(shù)， （， 為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）試討論函數(shù)的極值情況；

（2）證明：當且時，總有.

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【題目】某二手交易市場對某型號的二手汽車的使用年數(shù)（）與銷售價格（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)

2

4

6

8

10

銷售價格

16

13

9.5

7

4.5

（I）試求關(guān)于的回歸直線方程.

（參考公式：，）

（II）已知每輛該型號汽車的收購價格為萬元，根據(jù)（I）中所求的回歸方程，預(yù)測為何值時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤最大？（利潤=銷售價格-收購價格）

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【題目】隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，圖2是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級， 一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是質(zhì)量合格天氣，下面四種說法正確的是（ ）

①1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個

②第二季度與第一季度相比，空氣達標天數(shù)的比重下降了

③8月是空氣質(zhì)量最好的一個月

④6月份的空氣質(zhì)量最差

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，,.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若與平面所成的角為，點是的中點，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知,如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為的正方形,,且.

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）在線段（不包含端點）上是否存在點,使得與平面所成的角為;若存在,寫出的值,若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】動直線：（）與圓：交于點，，則弦最短為（ ）

A. B. C. D.

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