Question

如圖，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出a₁，a₂，a₃；
（2）求出點(diǎn)A_n（a_n，0）（n∈N^*）的橫坐標(biāo)a_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知直線AP₁為y=x，然后與y²=3x聯(lián)立可得到P₁的坐標(biāo)，再由△AA₁P₁是正三角形可得到A₁的坐標(biāo)得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根據(jù)題意可得到關(guān)系，，然后根據(jù)y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），從而可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=n（n+1），再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（3）先根據(jù)（2）中a_n的表達(dá)式可得到b_n的關(guān)系式b_n=，再由函數(shù)的單調(diào)性可判斷當(dāng)n=1是b_n的最大值，故為使得不等式恒成立只要即可，即只要t²-2mt＞0對(duì)于?m∈[-1，1]恒成立即可，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到t的范圍．
解答：解（1）a₁=2，a₂=6，a₃=12；
（2）依題意，得，，由此及y_n²=3x_n得，即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
（2）假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即有a_n=k（k+1），則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及（a_k+1-a_k）²=2（a_k+a_k+1）得[a_k+1-k（k+1）]²=2[k（k+1）+a_k+1]，即（a_k+1）²-2（k²+k+1）a_k+1+[k（k-1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得a_k+1=（k+1）（k+2）（a_k+1=k（k-1）＜a_k不合題意，舍去），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
由（1）、（2）知：命題成立．
（3）==．
令（x≥1），則，所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值3，即當(dāng)n=1時(shí)，．（（?n∈N，?m∈[-1，1]），即t²-2mt＞0（?m∈[-1，1]）
解之得，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性問題以及二次函數(shù)的恒成立問題，考查綜合運(yùn)用能力．