精英家教網(wǎng)如圖，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲線C：y2=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）．則a1=
 
；猜想an關(guān)于n的表達(dá)式為
 
．
分析：由題意可知直線A0P1為y=
3
x，然后與y2=3x聯(lián)立可得到P1的坐標(biāo)，再由△A0A1P1是正三角形可得到A1的坐標(biāo)得到a1的值，先根據(jù)題意可得到關(guān)系，然后根據(jù)yn2=3xn得（an-an-1）2=2（an-1+an），從而可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式an=n（n+1）．
解答：解：y=
3
x  ①
y2=3x    ②
∴P1(1，
3
)
∴a1=2，
依題意，得 xn=
an-1+an
2
，yn=
3
•
an-an-1
2
，
由此及yn2=3xn得 (
3
•
an-an-1
2
)2=
3
2
(an-1+an)，
即（an-an-1）2=2（an-1+an）．
由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*
故答案為：2；an=n（n+1）（n∈N*）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合題目，解題過程中，用到方程的求解，注意題目中的運(yùn)算比較繁瑣，不要在這種環(huán)節(jié)出錯(cuò)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲線C：y2=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出a1，a2，a3；
（2）求出點(diǎn)An（an，0）（n∈N*）的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲線C：y2=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出a1，a2，a3；
（2）求出點(diǎn)An（an，0）（n∈N*）的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+
1
6
＞bn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲線C：y2=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x軸的正半軸上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求a1、a2、a3的值；
（2）求出點(diǎn)An（an，0）（n∈N+）的橫坐標(biāo)an和點(diǎn)An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）橫坐標(biāo)an-1的關(guān)系式；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論猜想an關(guān)于n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閘北區(qū)二模）如圖，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲線C：y2=
1
2
x(y≥0)上的點(diǎn)，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x軸正半軸上的點(diǎn)，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A0為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出an-1、an和xn之間的等量關(guān)系，以及an-1、an和yn之間的等量關(guān)系；
（2）猜測(cè)并證明數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實(shí)常數(shù)a的取值范圍．

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