Question

如圖，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n） 是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求出點(diǎn)A_n（a_n，0）（n∈N⁺）的橫坐標(biāo)a_n和點(diǎn)A_n-1（a_n-1，0）（n＞0，n∈N⁺）橫坐標(biāo)a_n-1的關(guān)系式；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論猜想a_n關(guān)于n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件直接求a₁、a₂、a₃的值；
（2）與（1）類(lèi)似求出直線的方程，通過(guò)求出點(diǎn)A_n（a_n，0）（n∈N⁺）的橫坐標(biāo)a_n與點(diǎn)A_n-1（a_n-1，0）（n＞0，n∈N⁺）橫坐標(biāo)a_n-1即可得到(an-an-1)2=2(an-1+an)；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論猜想a_n關(guān)于n的表達(dá)式，直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可．

解答：解：（1）依題意，OP₁直線方程為y=

3

x與曲線方程y²=3x聯(lián)立
解得P₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁=1，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a₁=2            …（2分）
同理：A₁P₂直線方程為y=

3

（x-2）代入y²=3x求得x₂=4    …（3分）
再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a₂=6，
A₂P₂直線方程為y=

3

（x-6）代入y²=3x求得x₃=9
再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a₃=12，…（4分）
（2）依題意，得xn=

an-1+an

2

    ①…（5分）
直線A_n-1P_n的方程為y=

3

（x-a_n-1）
P_n（x_n，y_n）坐標(biāo)滿足方程，則有y_n=

3

（x_n-a_n-1）②…（6分）
把①代入②式得 y_n=

3

（

an-1+an

2

-a_n-1）=

3

•

an-an-1

2

③（7分）
因?yàn)閥_n²=3x_n    ④…（8分）
把③式代入④得
(

3

•

an-an-1

2

)2=

3

2

(an+an-1)，
即(an-an-1)2=2(an-1+an)…（9分）
（3）由（Ⅰ）可猜想：a_n=n（n+1），n∈N⁺）．  （10分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
（2）假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即有a_k=k（k+1），…（11分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及
(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)]+ak+1，即
（a_k+1）²-2（k²+k+1）a_k+1+[k（k+1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得：a_k+1=（k+1）（k+2），（a_k+1=k（k-1），不合題意，舍去），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．                 …（13分）
由（1）、（2）知：命題成立．            …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何相結(jié)合的問(wèn)題，直線與拋物線的位置關(guān)系，數(shù)列的函數(shù)的特征，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．