Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，F(xiàn)為AB中點，且EF∥AD．將梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求CE與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得DE⊥平面BCEF，進而可得BC⊥DE．結合BC⊥BE，由線面垂直的判定可得答案；
（Ⅱ）過E點作取EH⊥BD于H，連結HC．可證∠ECH是CE與平面BCD所成的角．在三角形中有已知數(shù)據(jù)可得其正弦值．

解答：證明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，∴BC⊥DE．
由F為AB中點，可得BC⊥BE，又∵DE∩BE=E，
∴BC⊥平面BDE．
（Ⅱ）過E點作取EH⊥BD于H，連結HC．
∵BC⊥平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD，∴EH⊥平面BCD，
∴∠ECH是CE與平面BCD所成的角．
由DE=1， EB=

2

，得EH=

6

3

，
∴sin∠ECH=

EH

EC

=

6

6

．
∴CE與平面BCD所成角的正弦值為

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，屬中檔題．