Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，AB=3，動點P在BCD內(nèi)運動（含邊界），設(shè)

AP

=α

AD

+β

AB

，則α+β的最大值是（　�。�

• A．2
• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：方法一：如圖所示，作EF∥AB分別交BD、BC于點E、F，可知以下事實：當(dāng)點P在EF上從左到右取點時，α不變而β增大，因此α+β的最大值只能在線段BC上取得．設(shè)

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1），利用共線定理即可得出點P的坐標，即可得出α+β的最大值．
方法二：由題意正確得出點P（x，y）所滿足的約束條件，利用

AP

=α

AD

+β

AB

=α

j

+3β

i

=（3β，α）進行坐標變換得出α、β滿足的約束條件，利用平移直線的方法找出α+β=t在α軸的最大截距即可．

解答：解：方法一：如圖所示：作EF∥AB分別交BD、BC于點E、F．
當(dāng)點P在EF上從左到右取點時，α不變而β增大，因此α+β的最大值只能在線段BC上
取得．
設(shè)

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1）．
∵B（1，0），C（

1

3

，1），A（0，0）．
∴

BC

=(-

2

3

，1)，∴

AP

-

AB

=λ(-

2

3

，1)．
∴

AP

=(1-

2

3

λ，λ)，又

AP

=α

AD

+β

AB

．
∴α+β=1-

2

3

λ+λ=1+

1

3

λ≤1+

1

3

×1=

4

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時取等號，即點P取點C時，α+β取得最大值

4

3

．
故選D．
方法二：如圖所示，
在圖1中，設(shè)P（x，y）．
B（3，0），D（0，1），C（1，1）．
可得直線BD的方程：

x

3

+y=1．
CD的方程：y=1．
BC的方程：y=

1-0

1-3

(x-3)即x+2y-3=0．
則點P滿足的約束條件為

x+3y-3≥0 0≤y≤1 x+2y-3≤0

．
∵

AP

=α

AD

+β

AB

=α

j

+3β

i

=（3β，α），
∴

x=3β y=α

．代入點P滿足的約束條件得

β+α-1≥0 0≤α≤1 3β+2α-3≤0

如圖2所示可行域．
令α+β=t，
則α=-β+t，
作直線α=-β，并將其平移，可看到經(jīng)過點E時，t取得最大值，且t=

1

3

+1=

4

3

．
故選D．

點評：熟練掌握共線定理，或把問題點P（x，y）滿足的約束條件正確轉(zhuǎn)化為（β，α）滿足的約束條件、平移直線α=-β找出最大截距t是解題的關(guān)鍵．