Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=tsinα

，（t為參數(shù)，α為傾斜角，且α≠

π

2

）與曲線

x2

16

+

y2

12

=1交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出直線l的一般方程及直線l通過的定點P的坐標；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先可以分析到題目中的直線方程是參數(shù)方程的形式，需要化簡為一般方程，第1問即可求得．
（Ⅱ）直線與曲線交與交于A，B兩點，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關(guān)系即可得到求解．

解答：證明：（Ⅰ）∵直線的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=tsinα

，（t為參數(shù)，α為傾斜角，且α≠

π

2

），
所以

y

x-2

=

tsinα

tcosα

=tanα，∴直線l的一般方程xtanα-y-2tanα=0，
直線l通過的定點P的坐標為（2，0）．
（Ⅱ）∵l的參數(shù)方程為

x=2tcosα y=tsinα

，而橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，右焦點坐標為P（2，0）
∴3（2+tcosα）²+4（tsinα）²-48=0，即（3+sin²α）t²+12cosαt-36=0
∵直線l過橢圓的右焦點，∴直線與橢圓有兩個交點．
∴|PA||PB|=

36

3+sin2α

，又α為傾斜角，且α≠

π

2

∴0≤sin²α＜1，∴|PA||PB|的最大值為12．
故答案為12．

點評：此題主要考查直線參數(shù)方程化一般方程，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．