Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值與最大值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移

π

8

個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)的表達(dá)式展開(kāi)，得f（x）=2cos²x-2cosxsinx+1，再用三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式，得到f（x）=2+

2

sin（2x+

3π

4

），最后可用周期的公式求出函數(shù)的最小正周期；
（2）區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上，π≤2x+

3π

4

≤

9π

4

，從而得出

2

sin（2x+

3π

4

）∈[ -

2

，1]，最后得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為3，最小值為2-

2

；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移

π

8

個(gè)單位，得到y(tǒng)=f（x-

π

8

）的圖象，再沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x-

π

8

）-2的圖象，說(shuō)明g（x）=f（x-

π

8

）-2，代入（1）的表達(dá)式即可．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1
=cos2x-sin2x+2=2+

2

sin(2x+

3π

4

)（2分）
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為π（4分）
（2）因?yàn)?span id="sbmtq2y" class="MathJye">f(x)=2+

2

sin(2x+

3π

4

)
在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上是減函數(shù)，
在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上是增函數(shù)，
又f(

π

8

)=2，f(

3π

8

)=2-

2

，f(

3π

4

)=3（8分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為3，最小值為2-

2

（10分）
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移

π

8

個(gè)單位得y=2+

2

sin[2(x-

π

8

)+

3π

4

]=2+

2

sin(2x+

π

2

)=2+

2

cos2x（12分）
再沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得y=2+

2

cos2x-2=

2

cos2x，
所以g(x)=

2

cos2x（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．對(duì)三角函數(shù)公式的記憶要求較高，同時(shí)還考查了函數(shù)圖象的平移的規(guī)律，是一道不錯(cuò)的典型題．