Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)B（0，1）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，延長(zhǎng)PB交橢圓E于點(diǎn)Q，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率和b＝1，結(jié)合基本量的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）由A（2，0），又B（0，1），求得圓方程和設(shè)PQ的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，α為銳角），分別代入圓方程和橢圓方程，可得|BP|，|BQ|，再由換元法和判別式法，解不等式可得最大值．

（Ⅰ）橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)B（0，1），可得b=1，，，解得a=2，，則橢圓E的方程為；

（Ⅱ）可得A（2，0），又B（0，1），可得以AB為直徑的圓方程為，

設(shè)PQ的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為銳角），

代入圓方程可得，

可得，

將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程可得：

，

可得，

則，

設(shè)，設(shè)上式為，

即有，

，即為，

解得，

則的最大值為．