Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱
g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．以下說法
（1）函數(shù)f（x）=x²-2x不存在承托函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=x³-3x不存在承托函數(shù)；
（3）函數(shù)f(x)=

2x

x2-x+1

不存在承托函數(shù)；
（4）g（x）=1為函數(shù)f（x）=x⁴-2x³+x²+1的一個(gè)承托函數(shù)；
（5）g（x）=x為函數(shù)f（x）=e^x-1的一個(gè)承托函數(shù)．
中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

根據(jù)承托函數(shù)的定義知：只要函數(shù)f（x）有最小值，就一定有承托函數(shù)g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可．
（1）錯(cuò)，因?yàn)閒（x）=x²-2x=（x-1）²-1，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值-1
所以存在承托函數(shù)，例如：g（x）=-1就是其中一個(gè)；
（2）對，因?yàn)閒（x）=x³-3x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得：x=±1
所以，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
由此可知：函數(shù)無最小值，不存在承托函數(shù)；
（3）錯(cuò)，因?yàn)?span mathtag="math" >f(x)=

2x

x2-x+1

定義域?yàn)镽，用判別式法求值域如下：
把y=

2x

x2-x+1

變形得：yx²-（y+2）x+y=0
當(dāng)y=0時(shí)，x=0
當(dāng)y≠0時(shí)，由△=（y+2）²-4y²≥0得：-

2

3

≤y＜0或0＜y≤2
綜上可知：-

2

3

≤y≤2，故y有最小值-

2

3

所以，f(x)=

2x

x2-x+1

存在承托函數(shù)，例如：g（x）=-

2

3

（4）對，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x⁴-2x³+x²+1的導(dǎo)數(shù) f′（x）=4x³-6x²+2x=2x（2x-1）（x-1）
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
又∵f（0）=1，f（1）=1，∴f（x）的最小值為1，所以g（x）=1是它的承托函數(shù)
（5）錯(cuò)，因?yàn)閑^x＞0，所以函數(shù)f（x）=e^x-1＞-1
因?yàn)閷τ趚∈R，g（x）=x≤-1顯然不能恒成立，所以，g（x）=x不是函數(shù)f（x）=e^x-1的一個(gè)承托函數(shù)