Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*，點（a_n，S_n）都在函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

2

的圖象上．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log 

1

3

a_2n+1，T_n為數(shù)列{b_n}的前項和，且

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點（a_n，S_n）都在函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

2

的圖象上，可得S_n=-

1

2

an+

1

2

，利用遞推式可得an=

1

3

an-1，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=log 

1

3

a_2n+1=log

1

3

(

1

3

)2n+1=2n+1．利用等差數(shù)列的前n項和公式可得T_n=n（n+2），

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．利用“裂項求和”可得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

，

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立?

3

4

≤x²+ax+1對任意x∈R恒成立?4x²+4ax+1≥0對任意x∈R恒成立?△≤0，解出即可．

解答： 解：（1）∵點（a_n，S_n）都在函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

2

的圖象上，
∴S_n=-

1

2

an+

1

2

，
當n=1時，a₁=S₁=-

1

2

a1+

1

2

，解得a₁=

1

3

．
當n≥2時，S_n-1=-

1

2

an-1+

1

2

，
∴a_n=S_n-S_n=-

1

2

an+

1

2

an-1，化為an=

1

3

an-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為

1

3

，公比為

1

3

，
∴an=(

1

3

)n．
（2）b_n=log 

1

3

a_2n+1=log

1

3

(

1

3

)2n+1=2n+1．
∴Tn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立?

3

4

≤x²+ax+1對任意x∈R恒成立，
?4x²+4ax+1≥0對任意x∈R恒成立，
∴△=16a²-16≤0，解得-1≤a≤1．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、遞推式的應(yīng)用、對數(shù)的運算性質(zhì)、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．