Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，計(jì)算出數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)，猜想出通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：數(shù)列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴a₂=

2a1

2+a1

=

2×1

2+1

=

2

3

，
a₃=

2a2

2+a2

=

2× 2 3

2+ 2 3

=

1

2

，
a₄=

2a3

2+a3

=

2× 1 2

2+ 1 2

=

2

5

，…；
猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2

n+1

，n∈N^*；
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2

2

=1，滿足條件；
假設(shè)n=k時(shí)，a_k=

2

k+1

成立，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=

2ak

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

=

2

k+2

，也滿足條件；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2

n+1

，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推公式以及計(jì)算數(shù)列的項(xiàng)和猜想歸納推論能力，解題時(shí)可用數(shù)學(xué)歸納法證明，是綜合題．