已知向量|
a
|=1，|
b
|=2，|
c
|=3，且
a
，
b
，
c
兩兩的夾角都是
2
3
π，求：
（1）（2
a
+3
c
）•（
b
+2
c
）；
（2）|
a
+
b
+
c
|；
（3）
a
+
b
+
c
與
c
所成的夾角．
考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由題意可得
a
•
b
=-1，
b
•
c
=-3，
a
•
c
=-
3
2
．再根據(jù)（2
a
+3
c
）•（
b
+2
c
）=2
a
•
b
+4
a
•
c
+3
b
•
c
+6c2，計算求得結(jié)果．
（2）|
a
+
b
+
c
|=
(
a
+ 
b
+
c
)2
=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
 •
b
 +2
b
•
c
  +2
a
•
c
     
，計算求得結(jié)果．
 （3）設(shè)
a
+
b
+
c
與
c
所成的夾角為θ，則由cosθ=
(
a
+
b
+
c
)•
c
|
a
+
b
+
c
|•|
c
|
，求得θ 的值．
解答： 解：（1）由題意可得
a
•
b
=1×2×cos
2π
3
=-1，
b
•
c
=2×3×cos
2π
3
=-3，
a
•
c
=1×3×cos
2π
3
=-
3
2
．
∴（2
a
+3
c
）•（
b
+2
c
）=2
a
•
b
+4
a
•
c
+3
b
•
c
+6c2=-2-6-9+54=37．
（2）|
a
+
b
+
c
|=
(
a
+ 
b
+
c
)2
=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
 •
b
 +2
b
•
c
  +2
a
•
c
     

=
1+4+9-2-6-3
=
3
．
 （3）設(shè)
a
+
b
+
c
與
c
所成的夾角為θ，則cosθ=
(
a
+
b
+
c
)•
c
|
a
+
b
+
c
|•|
c
|
=
-
3
2
-3+9
3
×3
=
3
2
，
∴θ=
π
6
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積表示兩個兩個向量的夾角，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則xf′（x）＜0的解集為（　�。�
A、（-∞，
1
3
）∪（
1
3
，2）
B、（-∞，0）∪（
1
3
，2）
C、（-∞，
1
3
）∪（
1
3
，+∞）
D、（-∞，
1
3
）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+λ•2-x（λ∈R），若不等式
1
2
≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

銳角三角形ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊長分別為a，b，c．已知
m
=（c-2a，b），
n
=（cosB，cosC），且|
m
+
n
|=|
m
-
n
|．又b=
3
．
（1）求三角形ABC的面積S的最大值；
（2）求三角形ABC的周長l的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

南昌市個體戶自主產(chǎn)業(yè)給予小額貸款補貼，每戶貸款額為2萬元，貸款期限有6個月、12個月、18個月、24個月、36個月五種，這五種貸款期限政府分別需要補助200元、300元、300元、400元、400元．從2013年起享受此政策的個體戶中抽取了100戶進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，其貸款期限的頻數(shù)如下表：
貸款期限 6個月 12個月 18個月 24個月 36個月
頻數(shù) 20 40 20 10 10
以上表各種貸款期限的頻率作為2014年個體戶選擇各種貸款期限的概率．
（1）某小區(qū)2014年共有3戶準(zhǔn)備享受此政策，計算其中恰好有兩戶選擇貸款期限為12個月的概率；
（2）設(shè)給某享受此政策的個體戶補貼為ξ元，寫出ξ的分布列，若預(yù)計2014年全市有3.6萬戶享受此政策，估計2014年該市共要補貼多少萬元．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一條河兩岸平行，水流速度為4km/h，一條小船在靜水中的速度為2km/h，船頭方向與河岸夾角多大時，它在水中的航程最短？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），f（x）=
a
•
b
+m．
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時，函數(shù)f（x）的最小值為2，求此函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時，函數(shù)f（x）取到最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

達(dá)州市萬源中學(xué)實施“陽光體育”素質(zhì)教育，要求學(xué)生在校期間每天上午第二節(jié)課下課后迅速到操場參加課間活動．現(xiàn)調(diào)查高三某班學(xué)生從教室到操場路上所需時間（單位：分鐘）并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率直方圖（如圖），其中，路上所需時間的范圍是（0，10]，樣本數(shù)據(jù)分組為（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]．
（Ⅰ）求直方圖t的值；
（Ⅱ）現(xiàn)有6名學(xué)生路上時間小于4分鐘，其中2人路上時間小于2分鐘．從這6人中任意選出2人，設(shè)這2人路上時間小于2分鐘人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，
m
=（2a，b）與
n
=（
3
，sinB）共線，
（1）求角A．
（2）將函數(shù)y1=sinx的圖象向左平移
π
6
個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象，若f（A）=
1
2
，b=1，且△ABC的面積s=
3
2
，判斷△ABC的形狀．

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