Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E為AD的中點，P是AB邊上一動點．當∠DPE取得最大時，AP等于

1. A.
   2
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：設AP=x，x＞0，設∠DPE=θ，則易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后轉化為求函數sinθ的最大值問題即可解決．
解答：設AP=x，則x＞0，由題意知，DE=1，PE=，PD=，
可以看出三邊中其中DE最短，所以其對應的∠DPE最小，設∠DPE=θ，則0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ==，
sin²θ=1-cos²θ=1-=，
因為sinθ在0°＜θ＜60°時為單調梯增函數，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin²θ=，而=9，
當且僅當即x=時取等號．
則，所以sin，當x=時取等號，即θ取得最大值，
故選C．
點評：本題考查了余弦定理、函數最值的求解及函數思想，考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力．