Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E為AD的中點，P是AB邊上一動點．當∠DPE取得最大時，AP等于（　�。�

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：設AP=x，x＞0，設∠DPE=θ，則易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)sinθ的最大值問題即可解決．

解答：解：設AP=x，則x＞0，由題意知，DE=1，PE=

1+x2

，PD=

4+x2

，
可以看出三邊中其中DE最短，所以其對應的∠DPE最小，設∠DPE=θ，則0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ=

(1+x2)+(4+x2)-1

2 (1+x2)(4+x2)

=

x2+2

(1+x2)(4+x2)

，
sin²θ=1-cos²θ=1-

(x2+2)2

(1+x2)(4+x2)

=

x2

(1+x2)(4+x2)

，
因為sinθ在0°＜θ＜60°時為單調(diào)梯增函數(shù)，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin²θ=

1

x2+ 4 x2 +5

，而x2+

4

x2

+5≥2

x2• 4 x2

+5=9，
當且僅當x2=

4

x2

即x=

2

時取等號．
則sin2θ≤

1

9

，所以sinθ≤

1

3

，當x=

2

時取等號，即θ取得最大值，
故選C．

點評：本題考查了余弦定理、函數(shù)最值的求解及函數(shù)思想，考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力．