Question

若單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，|

b

-t

a

|（t∈R）最小值為

3

2

，且（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，則

c

•（

a

+

b

）的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，當(dāng)t≥0時(shí)，由于單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，可得|

b

-t

a

|≥|

b

|=1＞

3

2

．當(dāng)t＜0時(shí)．設(shè)

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．利用|

b

-t

a

|≥

3

2

，可得cosθ≥

4t2+1

8t

，對(duì)于t＜0恒成立．利用基本不等式可得

4t2+1

8t

≤-

1

2

．因此cosθ≥-

1

2

，又θ為鈍角，可得當(dāng)且僅當(dāng)θ=

2π

3

取等號(hào)，于是θ=

2π

3

．設(shè)

c

=（x，y），利用（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，可得(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．即圓心M(

1

4

，

3

4

)，半徑r=

3

2

．可得

c

•（

a

+

b

）≤|

c

|•|

a

+

b

|=

x2+y2

≤|OM|+r即可得出．

解答： 解：如圖所示，
當(dāng)t≥0時(shí)，∵單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，∴|

b

-t

a

|≥|

b

|=1＞

3

2

．
當(dāng)t＜0時(shí)．
設(shè)

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．
則|

b

-t

a

|=

b 2+t2 a 2-2t a • b

=

1+t2-2tcosθ

≥

3

2

，
化為cosθ≥

4t2+1

8t

，對(duì)于t＜0恒成立．
∵

4t2+1

8t

=-

1

2

(-t+

1

-4t

)≤-

1

2

×2

-t• 1 -4t

=-

1

2

．
∴cosθ≥-

1

2

，
又θ為鈍角，∴當(dāng)且僅當(dāng)θ=

2π

3

取等號(hào)．
即只有當(dāng)θ=

2π

3

時(shí)對(duì)于?t∈R，|

b

-t

a

|（t∈R）最小值為

3

2

．
因此θ=

2π

3

．
∴

b

=(cos

2π

3

，sin

2π

3

)=(-

1

2

，

3

2

)．
設(shè)

c

=（x，y），
∵（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴（x-1，y）•(x+

1

2

，y-

3

2

)=(x-1)(x+

1

2

)+y(y-

3

2

)=0，
化為(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．
則圓心M(

1

4

，

3

4

)，半徑r=

3

2

．
∴|OM|=

( 1 4 )2+( 3 4 )2

=

1

2

＜

3

2

，
則

c

•（

a

+

b

）≤|

c

|•|

a

+

b

|=

x2+y2

•|(

1

2

，

3

2

)|=

x2+y2

≤|OM|+r=

1

2

+

3

2

=

3 +1

2

．
故答案為：

3 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．