【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析

【解析】

（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

， 與橢圓有兩個交點，.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明

即可.

解：（1）依題意可設(shè)圓方程為，

圓與直線相切，.，

由解得，

橢圓的方程為.

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

，

與橢圓有兩個交點，，即.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，

則，.

，

即.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)為常數(shù)，）的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象（　�。�

A. 關(guān)于直線對稱B. 關(guān)于直線對稱

C. 關(guān)于點對稱D. 關(guān)于點對稱

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，，，為側(cè)棱上一點.

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設(shè)，某市組織開展“學習強國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟項目測試成績頻率分布直方圖

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為“經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

（2）用這100人的樣本估計總體，假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.

（i）從該市測試人員中隨機抽取1人，估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟項目等級”的概率.

（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟項目的學習成績進行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若圓上一點A（2，3）關(guān)于直線x+2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2則圓的方程是_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，為坐標原點，有下列結(jié)論：①存在點，，使得為等邊三角形；②不存在點，，使得為等邊三角形；③存在點，，使得；④不存在點，，使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是( )

A.①④B.①③C.②④D.②③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】、兩個班共有65名學生，為調(diào)查他們的引體向上鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生引體向上的測試數(shù)據(jù)（單位：個），用莖葉圖記錄如下：

(1)試估計班的學生人數(shù)；

(2)從班和班抽出的學生中，各隨機選取一人，班選出的人記為甲，班選出的人記為乙，假設(shè)所有學生的測試相對獨立，比較甲、乙兩人的測試數(shù)據(jù)得到隨機變量.規(guī)定：當甲的測試數(shù)據(jù)比乙的測試數(shù)據(jù)低時，記；當甲的測試數(shù)據(jù)與乙的測試數(shù)據(jù)相等時，記；當甲的測試數(shù)據(jù)比乙的測試數(shù)據(jù)高時，記.求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

(3)再從、兩個班中各隨機抽取一名學生，他們引體向上的測試數(shù)據(jù)分別是10，8（單位：個），這2個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小.（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點，使得平面；

③對于棱上任意一點，在棱上均有相應(yīng)的點，使得平面；

④存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合，記作 且．已知集合．

（Ⅰ）若集合，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）從集合選出10個元素由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其中公差的最大值和最小值分別是多少？公差為和的等差數(shù)列各有多少個？

（Ⅲ）設(shè)集合,且集合中含有10個元素，證明：集合中必有10個元素組成等差數(shù)列．

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