Question

21、設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2ⁿ，
（Ⅰ）求a₁，a₄
（Ⅱ）證明：{a_n+1-2aⁿ}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1得到s₁=a₁=2并推出a_n，令n=2求出a₂，s₂得到a₃推出a₄即可；
（Ⅱ）由已知得a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ即為等比數(shù)列；
（Ⅲ）a_n=（a_n-2a_n-1）+2（a_n-1-2a_n-2）++2^n-2（a₂-2a₁）+2^n-1a₁=（n+1）•2^n-1即可．

解答：解：（Ⅰ）因為a₁=S₁，2a₁=S₁+2，所以a₁=2，S₁=2
由2a_n=S_n+2ⁿ知2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹
得a_n=s_n+2ⁿ⁺¹①
所以a₂=S₁+2²=2+2²=6，S₂=8a₃=S₂+2³=8+2³=16，S₂=24a₄=S₃+2⁴=40
（Ⅱ）由題設(shè)和①式知a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ
所以{a_n+1-2aⁿ}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅲ）a_n=（a_n-2a_n-1）+2（a_n-1-2a_n-2）++2^n-2（a₂-2a₁）+2^n-1a₁=（n+1）•2^n-1

點評：此題重點考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項，通項公式等，同時考查學(xué)生掌握數(shù)列的遞推式以及等比數(shù)列的通項公式的能力．