設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*
分析:(Ⅰ)由Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n=1,2,3,…,再寫一式,兩式相減整理可得an=2an-1+3×(-1)n-1
(Ⅱ)由(Ⅰ)令bn=(-1)nan得bn=-2bn-1-3,構造新數(shù)列bn+1是等比數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)由Sn=2n -
(-1)n+1
2
,∴S2k-1=22k-1,S2k=22k-1,再進行分組求和,利用等比數(shù)列的求和公式可證.
解答:解:(Ⅰ)由Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n=1,2,3,…,①
得Sn-1=2an-1+
3
2
×(-1)n-1-
1
2
,n=2,3,…,②…(1分)
將①和②相減得:an=2(an-an-1)+
3
2
[-(-1)n-1-(-1)n-1]
,n=2,3,…,…(2分)
整理得:an=2an-1+3×(-1)n-1,n=2,3,….      …(3分)
(Ⅱ)在已知條件中取n=1得,a1=2a1-
3
2
-
1
2
,∴a1═2.…(4分)
∵an=2an-1+3×(-1)n-1,∴(-1)nan=-2(-1)n-1an-1-3,
∴令bn=(-1)nan得bn=-2bn-1-3,n=2,3,….…(5分)
∴bn+1+1=-2(bn+1),n=1,2,3,…,
∵b1+1=-1≠0,∴bn+1=(-1)×(-2)n-1,n=1,2,3,…,
∴an=2n-1+(-1)n-1.     …(7分)
(Ⅲ)∵Sn=2n -
(-1)n+1
2
,∴S2k-1=22k-1,S2k=22k-1.      …(8分)
1
S1
+
1
S2
+…+
1
S2n
=(
1
2
+
1
8
+…+
1
22n-1
)+(
1
22-1
+…+
1
22n-1
)
10
9
(1-
1
4n
)<
10
9
.      …(10分)
同理
1
S1
+
1
S2
+…+
1
S2n-1
10
9
,∴
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*.  …(12分)
點評:本題主要考查數(shù)列通項公式的求解,考查數(shù)列與不等式的綜合,有一定的難度.
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3
2
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(2)求數(shù)列an的通項公式;
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3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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不等式組
x≥0
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nx+y≤4n
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(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
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S4
a3
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