Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n），（n∈N₊）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令，求{b_n}的前n項和T_n；
（3）令，證明：，n∈N₊．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點（n，S_n），（n∈N₊）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得S_n=，再寫一式，兩式相減，即可求{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用錯位相減法，即可求得{b_n}的前n項和T_n；
（3）確定數(shù)列的通項，利用裂項法求和，即可證明結(jié)論．
解答：（1）解：∵點（n，S_n），（n∈N₊）都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴S_n=
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-[]=n+1
n=1時，也滿足上式
∴a_n=n+1；
（2）解：=
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=++…+
∴T_n=+…++
兩式相減可得T_n=++…+-=3--；
（3）證明：==2+（）
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（++…+）=2n+
∴
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項，正確運用求和公式是關(guān)鍵．