Question

【題目】在無窮數列中，，記前項中的最大項為，最小項為，令.

（1）若的前項和滿足.

①求；

②是否存在正整數滿足？若存在，請求出這樣的，若不存在，請說明理由.

（2）若數列是等比數列，求證：數列是等比數列.

Answer 1

【答案】（1）①；②存在，，或；（2）證明見解析

【解析】

（1）①根據，先求出，再由，求出，即可得出；

②先假設存在滿足條件的正整數滿足題意，得出，設，研究其增減性，設，得，設，研究其增減性，進而可得出結果；

（2）因為，且、分別為前項中的最大項和最小項，所以，，設數列的公比為，顯然，分別討論，，，三種情況，即可得出結果.

解：①在中，令，得，解得，∴，

當時，，

綜上.

顯然為單調遞增數列，所以，，所以.

②假設存在滿足條件的正整數，則，所以，

設，則，所以，

由，得，∴，則，

當時，顯然不成立，

當時，，

設，則，，得，

設，則恒成立，

所以數列單調遞減，而，，，則時，恒成立，

故方程的解有且僅有，或，，

故滿足條件的存在，，或.

（2）證明：因為，且、分別為前項中的最大項和最小項，

所以，，設數列的公比為，顯然，

①當時，，得，

若，則，由與的含義可知與不可能同時成立，

故，則，則，，∴，∴，

所以數列是等比數列.

②當時，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以數列是等比數列.

③當時，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以數列是等比數列.

綜上①②③，數列是等比數列.