Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)．

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據(jù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，并求得，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號判斷的單調(diào)性，從而求得最大值；由時的極限，即可確定函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點(diǎn)時的取值范圍；

（2）根據(jù)零點(diǎn)定義，將代入可得，.再結(jié)合不等式代入化簡并分離參數(shù)；由，，作差也可分離參數(shù)，將兩個式子合并化簡，令，再構(gòu)造函數(shù)，再求得，對分類討論，由的單調(diào)性與極值，即可確定的取值范圍．

（1）依題意，函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點(diǎn)，即方程在）上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解．

令，則．

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)逆增，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以．

又，時，

當(dāng)時，，且，

若函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點(diǎn)，

則．

（2）因?yàn)?/span>為方程的兩根，

所以，．

不等式，變形可得，

代入可得．

因?yàn)?/span>，，所以原不等式等價于．

又由，，作差得，所以．

所以原不等式等價于恒成立．

令，則，不等式等價于在上恒成立．

令，則．

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞，因此，滿足條件；

②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上不能恒小于零．

綜上，．